Integral von \( \sin^3(x) \cos^2(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

Schreiben Sie das Integral um, indem Sie einen einzelnen Sinus-Faktor abspalten:

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) und setzen Sie ein:

\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden:

\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \cos x \), was \( du = -\sin x \, dx \) bzw. \( \sin x \, dx = -du \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:

\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]

Berechnen Sie das Integral unter Verwendung der gängigen Integralformel \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \):

\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Setzen Sie \( u = \cos x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten: